Eine neue algebraische Methode zur Untersuchung von Vektorbündeln auf der projektiven Ebene

Klassische Begriffe und Inhaltsangabe

In dieser Arbeit stellen wir eine neue algebraische Methode zur Untersuchung von Vektorbündeln, aber auch beliebigen kohärenten Moduln auf projektiven Räumen ℙ_n vor. Um die Einführung des wesentlichen mit kohärenten ℙ_n-Moduln zusammenhängenden Begriffes, des Kroneckermoduls, zu motivieren, wollen wir jetzt an die klassischen Resultate von Serre erinnern.

Sei Gradⁿ die Kategorie der endlich erzeugten graduierten Moduln über der graduierten k-Algebra der Polynome k[x₀, ...,x_n], wobei k ein algebraisch abgeschlossener Körper sei. Aus einem Modul M in Gradⁿ können wir auf folgende Weise einen ℙ_n-Modul ℱ konstruieren: Wir definieren die Schnitte Γ(ℙ_nf,ℱ) von  ℱ  über der offenen Menge ℙ_nf von ℙ_n der Punkte, wo die homogene Funktion f∈k[x₀,...,x_n] nicht verschwindet, als die 0-te Komponente (M_f)₀ der Lokalisierung M_f von M bezüglich der Menge {1,f,f²,f³,...}. Dadurch ist bis auf eindeutige Isomorphie ein kohärenter ℙ_n-Modul  ℱ  bestimmt.

Insbesondere ist dem Modul k[x₀,...,x_n](m), den wir aus k[x₀,...,x_n] durch Verschieben der Graduierung erhalten, der lokalfreie kohärente ℙ_n-Modul O(m), ein Geradenbündel, zugeordnet, bei m<0 eine Potenz des Hopfbündels O(-1). Wenn wir mit  ℱ(m)  das Tensorprodukt  ℱ⊗O(m)  und mit  Γ(ℱ)  die globalen Schnitte von  ℱ  bezeichnen, so ist für einen kohärenten ℙ_n-Modul  ℱ  der Vektorraum  X(ℱ) = ⊕Γ(ℱ(m))  (direkte Summe) ein endlich erzeugter k[x₀,...,x_n]-Modul, wenn er mit der natürlichen Multiplikation versehen wird, die folgendermaßen definiert ist: Wir fassen x_i als Schnitt von O(1) auf und definieren x_i⋅s für s in  Γ(ℱ(m))  als den Schnitt von O(1)⊗ℱ(m) = ℱ(m+1).

Auf diese Weise erhalten wir zwei Funktoren A: Gradⁿ→Mod und X: Mod→Gradⁿ, wobei Mod die Kategorie der kohärenten ℙ_n-Modulgarben bezeichnet. Die Konstruktion A von ℙ_n-Moduln hängt aber nicht von den homogenen Komponenten vom Grad kleiner als eine beliebige Konstante ab, und andererseits gibt es Moduln mit X(ℱ)_m = 0 für alle  m∈ℤ  kleiner als eine beliebige Konstante. Daher sind die Funktoren A und X erst dann "invers", wenn wir in Gradⁿ Objekte und Morphismen identifizieren, die in allen homogenen Komponenten genügend hohen Grades übereinstimmen.

Diese Identifizierung in Gradⁿ ist aber rein theoretisch und praktisch arbeitet man mit den Objekten in Gradⁿ. Dann aber kann es vorkommen, dass z.B. ein unzerlegbarer graduierter Modul M einen zerlegbaren ℙ_n-Modul A(M) induziert. Um jedoch von der Notwendigkeit der Klassenbildung loszukommen, muss man sich in jedem Fall auf ℙ_n-Moduln  ℱ  beschränken, die schon aus ihren Schnitten  Γ(ℱ(m))  für  m  kleiner als eine Konstante konstruierbar sind. Zum Beispiel besitzt die Unterkategorie Vb₀ⁿ von Mod _n der lokalfreien global erzeugten ℙ_n-Moduln  ℱ , wo die höhere Kohomologie der  ℱ(m)  für  m≥-n  verschwindet, diese Eigenschaft, und wir werden zeigen, dass ein solcher Modul schon durch zwei Komponenten von  X(ℱ), z.B. durch  Γ(ℱ(-1))  und  Γ(ℱ), bestimmt ist und dass sie zusammen mit der Multiplikation durch die x_i∈k[x₀,...,x_n] einen Kroneckermodul mit n+1 lineare Abbildungen x_i: Γ(ℱ(-1))→Γ(ℱ)  induzieren. Allgemein heißt solch ein Objekt von zwei Vektorräumen V und W mit einer endlichen Zahl k von linearen Abbildungen V→W Kroneckermodul mit k Pfeilen.

Wir können also jedem kohärenten ℙ_n-Modul  ℱ  einen Kroneckermodul  κ(ℱ)  mit n+1 Pfeilen  Γ(ℱ(-1))→Γ(ℱ)  zuordnen. Wir entwickeln auch ein Verfahren zur globalen Konstruktion von ℙ_n-Moduln M(æ) aus Kroneckermoduln  æ  und zeigen, dass der Funktor  κ  auf einer Unterkategorie Mod ₀ⁿ von Mod, die Vb₀ⁿ enthält, eine volltreue Einbettung in die Kategorie der Kroneckermoduln induziert und "Schnitt" für den Funktor M ist. Die Kategorie Mod ₀ⁿ hat die Eigenschaft, dass es für jeden kohärenten ℙ_n-Modul  ℱ  ein m∈ℕ gibt, so dass  ℱ(m)  in Mod ₀ⁿ liegt. Daher kann man sich auf Mod ₀ⁿ beschränken, wenn man ℙ_n-Moduln nur bis auf Isomorphie betrachtet, da  ℱ(m)  isomorph zu G(m) ist, genau wenn  ℱ  isomorph zu G.

Da wir vornehmlich an Fragen der Isomorphie von Vektorbündeln interessiert sind, untersuchen wir in dieser Arbeit Eigenschaften der Kroneckermoduln von Vektorbündeln in Mod ₀ⁿ. Zunächst jedoch eine Erinnerung an die "klassischen" Methoden, ein quasiprojektives Schema von Isomorphieklassen von Vektorbündeln über einer nichtsingulären projektiven Kurve X zu konstruieren. Man konstruiert zuerst eine Familie oder ein Schema von Vektorbündeln mit einer darauf operierenden reduktiven Gruppe so, dass ihre Bahnen genau die Isomorphieklassen sind. Dann studiert man die Gruppenoperation und kennzeichnet das offene Unterschema der "stabilen" Punkte, wofür ein "geometrischer" Quotient, das Modulischema, nach der Gruppenoperation existiert, d.h. im wesentlichen: ein universelles quasiprojektives Schema, dessen Punkte die Isomorphieklassen parametrisieren. [D. Mumford, Geometric Invariant Theorie, 0.4]

Dabei werden drei wesentliche Eigenschaften von Bündeln auf projektiven Kurven verwendet:
1. Die Vektorbündel sind genau die torsionsfreien X-Moduln.
2. Jedes Bündel F hat eine Filtrierung 0 = F₀ → F₁ → ... → F_r-1 → F_r =F, so dass F_i/F_i-1 ein Geradenbündel ist.
3. Bei Vorgabe der diskreten Invarianten Rang r und Grad c gibt es ein Schema von Bündeln vom Rang r und Grad c mit einer Moduligruppe.

Wir sind in der Lage, mit ähnlichen Methoden die stabilen ("besonders stabilen") Vektorbündel auf ℙ₂ (für beliebige Ränge) zu kennzeichnen. Leider gelingt eine geometrische Deutung eines Stabilitätsktiteriums nur für spezielle (monomiale) Bündel. Die hier verwendeten Methoden sind jedoch sicher "ausbaufähig", nicht wahrscheinlich dagegen auf beliebige Bündel über ℙ_n, da die zur Herleitung des Stabilitätskriteriums verwendeten drei zentralen Eigenschaften für ℙ_n mit n > 2 sicher nicht gelten:

Den obigen Aussagen entsprechen in dieser Arbeit folgende:
1. Die Kroneckermoduln von Vektorbündeln sind genau die regulären Kroneckermoduln. (Für die Definition von "regulär" ist der Begriff der Torsionsfreiheit entscheidend. Außerdem ist klar, dass der Kroneckermodul eines Vektorbündels torsionsfrei ist, d.h. für e‡0 in Γ(O(1)) und x‡0 in  Γ(ℱ(-1))  ist  e⋅x∈Γ(ℱ)  nicht Null. Dies gilt für alle ℙ_n.
2. Jedes Bündel auf ℙ₂ hat eine Folge 0 = F_-1 , F₀ ,..., F_m-1 , F_m = F von "abgeleiteten" Bündeln mit exakten Sequenzen 0→O⊗Y_i→F_i-1(1)→F_i→O⊗Z_i→0, wobei Y_i und Z_i Vektorräume sind. DimZ_i ist der Rang des maximalen trivialen Summanden von F und dimY_i lässt sich offenbar durch die Ränge von F_i und F_i-1 ausdrücken. Der Beweis der Existenz lässt leider nicht erkennen, wie sehr die Gültigkeit dieser Aussage mit der Regularität von κ(F(-1)): E⊗Γ(F(-2))→Γ(F(-1)) verknüpft ist, wobei E = Γ(O(1)) ist, und dass sie für n > 2 nicht gelten kann, z.B. ist κ(Ω(3)) nicht regulär.
3. Bei Vorgabe der Invarianten m (der "Stufe" von F) sowie dimY_i und dimZ_i gibt es ein Schema von Vektorbündeln mit einer Moduligruppe, hier eine SL_k. Die Definition ist für alle Bündel nur auf ℙ₂ möglich, da Punkt 2. nur für alle Bündel gilt, wenn n = 2 ist.